La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica realizó hace pocas semanas una actividad de alto contenido académico para recordar los 200 años del nacimiento de Evariste Galois (1811-1832), destacado genio matemático y patriota francés. Para esta ocasión, contamos con la presencia del profesor Nigel Boston, de la Universidad de Wisconsin, E. U. A., quien impartió un curso corto de una semana. En él abarcó aspectos históricos de la Teoría de Galois y sus fundamentos, para culminar con un bosquejo de la demostración del último Teorema de Fermat (Wiles, 1993-1994), en la cual se utilizan de manera decisiva resultados muy recientes de la moderna Teoría de Galois.
Uno de los problemas clásicos de la matemática ha sido hallar las raíces de un polinomio, es decir, resolver una ecuación del tipo:
14a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=0.’>
Así, las raíces de una ecuación de segundo grado:
14ax2+bx+c=0′>
están dadas por la fórmula
14x=-b±b2-4ac2a’>
Antes del siglo XIX, se habían establecido fórmulas similares a la anterior, para las raíces de ecuaciones de grados 3 o 4. Y todavía en tiempos de Galois muchos matemáticos hacían esfuerzos por establecer una fórmula para las raíces de ecuaciones polinomiales de grado 5. Esfuerzos que no se coronarían con el éxito, pues aunque algunos de estos polinomios sí poseen raíces calculables mediante fórmulas, trabajos de Galois y de Abel concluyeron que hay polinomios de grado 5, para los cuales eso es imposible. Posteriormente, Galois estableció un criterio general para determinar cuándo se puede y cuándo no. Para ello introdujo una nueva manera de considerar el problema, que toma en cuenta propiedades abstractas de las raíces, que tienen que ver, grosso modo, con la posibilidad de intercambiarlas entre sí. A partir de aquí, vinculó el problema con la naciente teoría de grupos, definiendo un grupo para cada polinomio, el ahora llamado Grupo de Galois. En términos modernos, estableció que, para que una ecuación polinomial se pueda resolver por radicales, es necesario y suficiente que su grupo de Galois sea resoluble. Muy útil ha sido la relación entre los subgrupos del grupo de Galois de un polinomio y la familia de ciertas extensiones de campos, la llamada Correspondencia de Galois.
Las ideas de Galois fueron recibidas con reserva en los círculos matemáticos: era un planteamiento novedoso y audaz, y algunos le tenían cierta desconfianza. Su verdadero alcance no se manifestó hasta varios años después de su muerte, acaecida en 1832, es decir, cuando recién llegaba a los 20 años de edad. Por cierto, las circunstancias de su muerte son todavía objeto de debate, pues si bien murió a consecuencia de un duelo con pistola, no se sabe con certeza qué motivos lo llevaron a ese trance. La noche anterior al duelo estaba encarcelado, a raíz de su participación en luchas callejeras de contenido político, protagonizadas por amplios sectores del pueblo francés, opuestos a la restauración de la monarquía, derrotada por la Revolución Francesa en 1779. Se maneja una especie de versión oficial, según la cual Galois fue al duelo para dirimir algún asunto pasional. Pero hay datos que apuntan a que fue objeto de una trama para acabar con su vida, planeada por fuerzas afines al gobierno.
Vida corta la de Galois. Pero vivida con intensidad e inteligencia admirables, en lucha contra grandes adversidades, que siempre afrontó con decisión. Si bien en el colegio se distinguió académicamente, y siendo adolescente ya ocupaba un lugar en los círculos matemáticos, no pudo ingresar a ninguno de los dos más prestigiosos centros de estudios superiores de su país, pues simplemente no aprobó los exámenes de admisión, aunque siempre se quejó de falta de objetividad y de ignorancia de sus examinadores. Lo cierto es que la noche antes de su muerte, encarcelado, terminó de redactar los artículos donde expuso de manera sistemática sus ideas acerca de la solución de ecuaciones polinomiales. Sus trabajos no se conocieron ampliamente sino hasta algunos años después, cuando fueron publicados en una revista.
La Teoría de Galois ha sido estudiada y desarrollada universalmente, y se puede entender a varios niveles. Los aspectos básicos son asequibles para una persona que maneje los conceptos de grupo y de campo, y tenga cierta familiaridad con el álgebra lineal. Excelentes libros de texto, escritos por grandes maestros, hacen viable esta tarea. En nuestra Escuela, se ofrece un curso introductorio desde hace varias décadas. La teoría ha crecido de la manera más diversa y profunda, atendiendo, además, necesidades de campos afines (números algebraicos, geometría algebraica, álgebra homológica, ecuaciones diferenciales). Mencionamos también el amplio tema de las representaciones de Galois, en el cual trabaja nuestro invitado, el profesor Nigel Boston, y que fue decisivo para establecer la demostración del último Teorema de Fermat[1], misma que constituye uno de los mayores logros de la matemática moderna.
[1] Pierre de Fermat, matemático francés, afirmó , sin demostrarlo, hace más de 350 años, que «la ecuación 14xn+yn=zn’> ” no posee ninguna solución entera (x,y,z) para números enteros. mayores que 2 . No fue sino hasta 1993-1994 que el matemático estadounidense A. Wiles, dio a conocer su demostración, que le había requerido cerca de siete años de trabajo.
